∫cos(x) dx = ∫ sin (x) + c
Necesidad de la constante
A primera vista puede parecer que la constante es innecesaria, puesto que se puede considerar cero. Además, al evaluar
integrales indefinidas empleando el
teorema fundamental del cálculo, la constante siempre se anulará. Pero intentar igualar la constante a cero no siempre tiene sentido. Por ejemplo, 2sin(
x)cos(
x) se puede integrar de dos maneras diferentes:
Por lo tanto, al considerar C como nula aún quedaría una constante. Esto significa que, para una función dada, no hay ninguna antiderivada "más simple".
Otro problema con igualar C a cero es que a veces se quiere
hallar una primitiva que tiene un valor dado en un punto dado. Por
ejemplo, para obtener la primitiva de cos(x) que tiene el valor 100 en x = π sólo hay un valor válido de C (en este caso C = 100).
Esta restricción se puede reformular en el lenguaje de las ecuaciones diferenciales. Encontrar una integral indefinida de una función
f(x) es lo mismo que resolver la ecuación diferencial
dy/dx = f(x). Cualquier ecuación diferencial tiene muchas soluciones, y cada constante representa la solución única de un
problema de valor inicial muy definido. Imponer la condición de que la primitiva tome el valor 100 en
x = π es una condición inicial. Cada condición inicial corresponde a un único valor de
C, de modo que sin
C sería imposible resolver el problema.
Hay otra justificación, que viene del
álgebra abstracta. El espacio de todas las
funciones realers sobre el conjunto de los
números reales (adecuadas) es un
espacio vectorial, y el operador diferencial
- d/dx
es un
operador lineal. El operador
d/dx hace corresponder una función a cero si y sólo si la función es constante. Consecuentemente, el núcleo de
d/dx
es el espacio de todas las funciones constantes. El proceso de
integración indefinida equivale a encontrar una antiimagen de una
función dada. No hay ninguna antiimagen canónica para una función dada,
pero el conjunto de todas esas antiimágenes forma una
clase lateral.
Elegir una constante es lo mismo que elegir un elemento de la clase
lateral. En este contexto, resolver un problema de valor inicial se
interpreta como la pertenencia al hiperplano dado por las
condiciones iniciales.
Motivo para la diferencia de una constante entre primitivas
Este resultado se puede establecer formalmente de esta forma: Sean F:R→R y G:R→R dos funciones derivables en todas partes. Supóngase que F'(x) = G'(x) para todos los números reales x. Entonces existe un número real C tal que F(x) - G(x) = C para todo x real.
Para demostrar esto, nótese que [F(x) - G(x)]' = 0. Por lo tanto F se puede sustituir por F-G y G
por la función constante 0; esto transforma el problema en el de
demostrar que una función derivable en todas partes que tiene por
derivada la función constante cero tiene que ser la función constante:
Se escoge un número real a, y se hace C=F(a). Para cualquier x, el teorema fundamental del cálculo establece que
-
lo que implica que F(x)=C. Por lo tanto F es una función constante.
Hay dos hechos cruciales en esta demostración. Primero, la recta real es un espacio conexo. Si la recta real no fuera conexa, no siempre se podría integrar desde un punto fijo a hasta cualquier x dado. Por ejemplo si se tratara de funciones definidas en la unión de los intervalos [0,1] y [2,3], y si a
fuera 0, entonces no sería posible integrar de 0 a 3, porque la función
no estaría definida entre 1 y 2. En este caso habría dos constantes,
una para cada componente conexo del dominio de la función. En general, a base de sustituir constantes por funciones localmente constantes se puede extender este teorema a dominios no conexos.
Segundo, se ha supuesto que
F y
G son derivables en todas partes. Si
F y
G no son derivables en sólo un punto, el teorema falla. Por ejemplo, sea
F(
x) la funcion escalon , que vale 0 para valores negativos de
x y 1 para valores no negativos de
x, y sea
G(
x) = 0. Entonces la derivada de
F es cero donde está definida, y la derivada de
G es siempre cero. Con todo, queda claro que
F y
G no difieren en una constante. Incluso si se supone que
F y
G son continuas en todas partes y derivables
casi en todas partes el teorema sigue fallando. A modo de ejemplo, tómese como
F la funcion de Cantor y sea de nuevo
G = 0.
Introducir el cálculo integral, se logro con el estudio de J.Bernoulli, quien escribió el primer curso sistemático de cálculo integral en 1742. Sin embargo, fue Euler quien llevó la integración hasta sus últimas consecuencias, de tal forma que los métodos de integración indefinida alcanzaron prácticamente su nivel actual. El cálculo de integrales de tipos especiales ya a comienzos de siglo, conllevó el descubrimiento de una serie de resultados de la teoría de las funciones especiales. Como las funciones gamma y beta, el logaritmo integral o las funciones elípticas. 
Según Euler el Cálculo Integral constituía un método de búsqueda, dada la relación entre los diferenciales o la relación entre las propias cantidades. La operación con lo que esto se obtenía se denominaba integración. El concepto primario de tal Cálculo, por supuesto, era la integral indefinida. El propio Cálculo tenía el objetivo de elaborar métodos de búsqueda de las funciones primitivas para funciones de una clase lo más amplia posible. 
